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趣说工学
第二季·第一期
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贾尼别科夫效应
又是一个阳光明媚的午后，泡一缸福鼎白茶，茶香浓郁，沁人心脾。我一如既往地打开手机，打开QQ看点，食指熟练地从屏幕顶端往下一滑，等待着今日文章的刷新。
不出意外的话马上就要出意外了，按照大数据的特性，前几篇文章必然是民科营销号百家争鸣。我本以为我已经做好了充足的准备，但当我看见头条文章标题时，还是忍不住把口中的茶水喷了出来......
映入眼帘的是一行极具民科传统色彩的黑色宋体三号字：“震惊！前苏联隐藏了十年的秘密竟可以毁灭地球？！”
不愧为标题大师，按照他们的这种写法，地球天天都有可能被毁灭。强忍着笑意，好奇心最终还是驱使我点开了那篇文章......
本来希望着说前苏联发现了外星技术啊什么的，结果通篇文章只描述了一个物理现象——贾尼别科夫效应。我顿时松了一口气，还好这个营销号没整什么天马行空的东西。
不过回过头来想想，在几十年前这个效应还没有被研究明白的时候，确实是挺吓人的。
该效应最初是在1985年由俄罗斯宇航员费拉基米尔·贾尼别科夫(Vlaodimir Dzhanibekov)在空间站中偶然发现的，因此也被称作贾尼别科夫效应，1991年，一篇公开发表的文章解释了该效应。
其内容是：一个刚体绕着它转动惯量最大的主轴（第一主轴），或者转动惯量最小的主轴（第三主轴）旋转时是最稳定的，而绕着中间轴（第二主轴）旋转时则是不稳定的。
当时贾尼别科夫在空间站中发现旋转的螺母会转着转着改变方向，所以有毁灭世界的担心也不是毫无道理。
因为地球在太空中也是一个旋转体，假如有一天地球也因贾尼别科夫效应转着转着就改变方向，那对世界来说带来的灾难就将是毁灭性的。
可能看到这里就会有同学提出疑问：在地面上我们能否观察到这种现象呢？
答案是当然可以，这个效应还有另外一个名字叫做网球拍效应。
如果手边没有网球拍也不用着急，可以拿一本周又和院士的《理论力学》教材作为实验工具。
我们可以用双手抓住教材的短边，使A面水平朝上，然后用力抛起教材，使教材在空中绕着轴L定轴旋转，实验顺利的话你会发现A面不仅会绕L轴旋转，还会在空中绕着与L轴垂直的轴L‘旋转。
但如果你将A面垂直于水平面抛起并借助，或者让A面绕着与L垂直的轴旋转则不能看到类似的现象。要想观察到该效应只需要物体的旋转轴与其第二主轴稍有偏差，与空气阻力或者重力无关。
要解释清楚这个现象需要很多的知识，那么在本期趣说工学中，我们将从最简单的部分开始讲起，对贾尼别科夫效应做一个定性分析。
趣说工学
贾尼别科夫效应·目录
01
刚体的转动惯量
①刚体的动量矩
②刚体的转动动能
③刚体的转动惯量
④惯量张量
02
刚体的动力学方程
①欧拉角与欧拉运动学方程
②欧拉动力学方程
03
刚体动力学规律的应用
①贾尼别科夫效应的定性解释
②高速旋转物体的回转效应
1
刚体的转动惯量
刚体的动量矩
在质点动力学和质点系动力学中，我们都曾遇到动量矩定理，并把它作为三大基本定理之一。在刚体动力学中，大量篇幅研究的是刚体转动问题，因此，就经常要用到动量矩定理。
在贾尼别科夫效应中，先决条件便是刚体的转动，所以描述刚体的转动对解释该效应起着至关重要的作用。那么接下来，让我们来研究一下，在转动问题中，动量矩的表达式是怎样的？
假设刚体在某一时刻以角速度ω作定点转动，如图所示。在刚体上任取一点Pi，它的质量为m；速度为vi（未画出）。若Pi对定点O的位矢为ri:
则此质点对定点O的动量矩为：
又因为刚体的质点速度总满足：
所以有：
上式告诉我们，动量矩 J一般并不与角速度ω共线。在平动中，动量 P与线速度v总是共线的；在定点转动中，只在惯量主轴上， J才与 ω共线。
此时我们应当注意，为了准确描述矢量 J的大小，最简便有效的方法便是描绘它的分量。为了便于理解，在这里我们选取正交坐标系Oxyz，则：
其中 i,j,k是分别沿着x,y,z轴的单位矢量，并进一步把动量矩表达式改写为：
把角速度和位矢表达式代入得 J在x上的分量：
同理：
我们令：
便可以把原式化简为：
其中
的物理意义我们在后面继续讨论。
刚体的转动动能
为了描述刚体的转动，其转动时所具有的转动动能也是必须要考虑到的，其表达式为：
在上一步中用到的结论有：
写成分量表达式，能量即为：
代入动量矩表达式，得：
这便是刚体绕O转动时的转动动能。
刚体的转动惯量
实际上，刚体的转动动能也可以写为：
其中作了代换：
我们发现， ρi为Pi与ω所在直线的垂直距离（ ω所在直线又称作转动瞬轴），那么I应当是刚体转动时刚体上质点的固有属性才对。
所以，我们把I称作刚体绕转动瞬轴的转动惯量。
在研究刚体转动时，恒有表达式
出现，上式中mi是刚体上质点Pi的质量，ρi为Pi到转动瞬轴的垂直距离，求和范围为整个刚体。这个表达式代表一个新的物理量，是转动时物体的一个属性，代表物体在转动时惯性的度量，和平动时的质量m相当。
虽然转动惯量与质心在计算上有相似之处，但物理实质迥然不同。在平动中，质量m可以认为是集中在物体的质心上；而在转动中，转动惯量反映物体转动时惯性的大小。在高中时，我们在解决运动问题时，常常会把物体等效成为一个质心，那么进行转动分析时，我们是否可以寻求一种类似的方法，将刚体按一定规律分布的质量等效为转动过程中集中在某一点的质点的质量？
其实是可以的，只需要设质点离某轴线的距离为k，刚体对该轴线的转动惯量与该等效质点对此同一轴线的转动惯量相等，即：
式中k叫做刚体对该轴线的回转半径，回转半径虽为一等效的量，但在计算中常被采用以简化问题，因为这样一来质量m就可以在算式中被约去。
惯量张量
现在我们来尝试解释
的物理意义。对于质量均匀分布（或者按照一定的规律分布）且形状规则的刚体，可以把I的计算式写为积分形式：
式中的平方项是质点P距x轴，y轴和z轴的垂直距离的平方，故记号：
就叫做刚体对x轴，y轴，z轴的轴转动惯量，至于交叉项
则因含有两个坐标的相乘项，所以叫做惯量积。
我们现在已经知道了这些符号的物理意义，但现在出现了一个十分棘手的问题：这些符号是在推导转动惯量的时候引入的。在引入转动惯量时，我们选取的时绝对参考系Oxyz，这样做的有点是可以直接从绝对运动的角度去分析刚体的转动；但缺点也显而易见：这大大增加了计算量。
那么现在，我们的主要任务便是尽量简化计算式。
还记得普通物理中曾经讲过的平行轴定理：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间垂直距离平方的乘积。
即：
式中I是对某轴线的转动惯量，Ic为对通过质心并于上述轴线平行的轴线的转动惯量，d为量平行轴线间的垂直距离。
事实上，通过空间某一点O，我们可以作出无数轴线，根据上面的讨论，知同一物体绕不同轴线转动时，转动惯量也将不同。这样，对通过O点的许多轴线，如果需要知道所有的转动惯量，就要进行大量计算。于是，我们希望可以找到与平行轴定理一样渐变的计算方法。
设α，β，γ为任一转动瞬轴相对于Oxyz坐标系坐标轴的方向余弦，借助此，我们可以把分量写为：
则：
所以一次只用算出三个轴转动惯量和三个惯性积，就可以算出通过O点的任一轴线的转动惯量。
三个轴转动惯量和六个惯性积作为一个统一的物理量，来代表刚体转动时惯性的度量，可以排成如下矩阵的形式：
这就是刚体的惯量张量，令
可以把转动惯量和动量矩写成：
为了进一步简化计算，我们选取固结于刚体的动坐标系，这样，矩阵
中的惯量系数便成为了常数，再通过调整动坐标系的轴取向，可以消去转动惯量中的惯量积，使问题更加简化。
2
刚体的动力学方程
欧拉角与欧拉运动学方程
为了更清楚地解释欧拉角的概念，我们取一个圆盘形刚体，设其圆心为定点O。
使该刚体绕某条直径转过一个角度θ，这个角度θ便叫做章动角。现在这个刚体还剩下两类转动方式：一使绕与xOy平面垂直的轴Oz转动，形成的角Φ叫做自转角；二是绕另一条直径（与原直径垂直且在刚体上）的轴转动，形成的叫φ叫做进动角。由图可以看出，这三个欧拉角的变化范围是：
欧拉运动学方程即为用欧拉角表示刚体转动的角速度，其形式（在此不加证明）为：
欧拉动力学方程
刚体绕定点O以角速度ω转动时，其运动方程为：
其中J是刚体绕定点O转动时的动量矩，M为诸外力对O点的主矩。根据前文讨论的内容，我们选固结在刚体上的动坐标系为参考系，调整动坐标系坐标轴与惯量主轴一致，那么六个惯量系数都是常数。
完成对动量矩 J的求导得：
又因为：
式中I1，I2，I3为绕三个惯量主轴（动坐标轴）的转动惯量。代入得：
由矢量相等的条件得：
这就是刚体绕定点转动的欧拉动力学方程。这三个动力学方程和前面的三个运动学方程结合起来，消去角速度分量。就能得到三个对欧拉角的二阶常微分方程，通过解方程我们就可以确定刚体欧拉角的变化情况，就能得到刚体的运动情况。
3
欧拉动力学规律的应用
贾尼别科夫效应的定性解释
现在，我们可以尝试定性分析贾尼别科夫效应了。
借助欧拉动力学方程，刚体在旋转中满足：
其中I1，I2，I3为主轴方向上的转动惯量，并设：
即I1对应第一主轴，I2对应第二主轴，I3对应第三主轴，角加速度分别为：
我们首先考虑物体绕其第一主轴旋转的情况，自然条件下，物体的旋转轴不可能完全与主轴平行。因此，我们假定在另外两个主轴上有微小的角速度分量，由公式①可知：α1小到可以忽略。再对式②进行求导得α3来替换到式③中，整理得：
我们注意到的变化ω2符合简谐运动（ω3同理）。
因此，物体绕第一第三主轴旋转是稳定的。
再来考虑绕第二主轴旋转的情况，此时是dω2/dt小到可以忽略，重复计算过程（此次是对①求导），整理后得：
所以ω1在不断增大，所以物体在绕第二主轴旋转是不稳定的，所以只要物体的旋转轴与第二主轴稍有偏差，就会发生贾尼别科夫效应。
那么话说回来，地球有没有可能发生贾尼别科夫效应呢？当然是不可能的，因为地球是赤道处半径稍大，此时地球对于转轴的转动惯量最大，该转轴是地球转动的第一主轴，那么地球此时此刻正在进行的旋转就是十分稳定的！
高速运动物体的回转效应
转动的物体除了可以展现贾尼别科夫效应，还有一些很奇特的性质，比如回转效应。
一个均匀物体绕着它的对称轴以很大角速度转动同时又没有初始进动角速度时，如果不受外力矩的作用，那么由于惯性关系，这个物体转动轴的方向保持不变，即角速度的方向保持不变。这一性质，在技术上得到很多应用。例如，鱼雷里通常装有电动机带动的回转仪。当鱼雷因风浪或其他原因改变方向时。因为无外力矩的作用，回转仪的转动轴是不会改变方向的。这是，回转仪的转动轴和鱼雷的纵轴之间就发生了偏差，这样，就可以开动某些辅助器械，改变舵的方向，使鱼雷恢复到正确的航向。
另一方面，当对称陀螺绕着它的对称轴快速转动时，如果有外力矩的作用，那么它表现的性质，也非常奇特。重力矩M本来应当使得陀螺向下倾倒，但事实上陀螺并不会倾倒，只是它的对称轴绕着竖直轴进动（章动很小，可以忽略）。这个现象，就叫做回转效应。
在日常生活中经常可以碰到回转效应，小孩玩的陀螺就是最明显的一个例子：当陀螺高速旋转时，并不会因为重力的作用倾倒，直到陀螺转动的角速度变小之后才会倾倒。另外，高速行驶的自行车不会由于重力的作用翻倒也是因为回转效应。
参考资料
Books And Articles
[1]《理论力学教程》(第四版)，高等教育出版社，周衍柏。
[2]百度百科——贾尼别科夫效应
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制作 | 李正阳
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编辑 | 李正阳 曾崇怡
校对 | 蒋煜
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